El método de lagrange en economía

Un problema clásico en economía es la forma de maximizar la utilidad pese a limitaciones de recursos, como el tiempo y el dinero. El método lagrangiano utiliza una técnica proveniente del cálculo para medir de modo matemático la forma en que los consumidores pueden lograr satisfacción máxima y los negocios pueden maximizar el beneficio (o minimizar los costos) con los límites dados.

El método lagrangiano (también conocido como multiplicadores de lagrange) fue propuesto Joseph Louis Lagrange (1736-1813), un matemático nacido en Italia. Sus multiplicadores tienen aplicaciones en una variedad de campos, incluyendo la física, astronomía y economía.

Una teoría clave en la economía neoclásica, la base de la mayoría del pensamiento económico tradicional, es que los consumidores y negocios son actores racionales que se esfuerzan por maximizar su utilidad. En el lado del consumidor, esto significa obtener el nivel más alto de satisfacción por los bienes y servicios consumidos. Para los negocios, la utilidad máxima significa maximizar el beneficio. Los economistas reconocen que las personas y empresas tienen necesidades ilimitadas, pero sólo existen recursos finitos para satisfacer esas necesidades. Los consumidores tienen ingresos limitados para comprar los bienes y servicios que deseen y las empresas tiene sólo tierra, trabajo y capital limitado para crear sus productos. Estos recursos limitados, entonces, presentan restricciones. El reto es la forma de lograr la satisfacción o beneficio máximo en base a sus restricciones dadas. Otro reto para las empresas es el de minimizar los costos de producción mientras alcanzan los niveles esperados de producción. El método lagrangiano proporciona una forma de resolver cuantitativamente estos problemas, a los que algunos economistas se refieren como problemas de optimización con restricciones.

El método lagrangiano aplica cálculo diferencial, el cual implica el cálculo de derivadas parciales, y hasta temas de optimización restringida. El propietario de un negocio, por ejemplo, puede utilizar esta técnica para maximizar el beneficio o minimizar los costos dado que el negocio tiene sólo una cierta cantidad de dinero para invertir. Un consumidor hipotético, que, por ejemplo, deriva la utilidad de coleccionar libros y CD, podría utilizar este método para determinar la forma de obtener el número óptimo de libros y CD, dado que sólo tiene US$100 de ingresos disponibles para gastar.

El multiplicador lagrangiano, representado en la ecuación por la letra minúscula griega lambda, representa la tasa de cambio en la utilidad relativa al cambio en la restricción de presupuesto. En economía, esto se conoce como el valor o utilidad marginal, el aumento en la utilidad ganada por un aumento en la restricción de presupuesto.

Basado en los resultados de un análisis lagrangiano, una persona o empresa tiene una base empírica para tomar decisiones sobre la maximización continua de la utilidad teniendo en cuenta los cambios de las restricciones externas. Un incremento del precio en un artículo favorito, por ejemplo, podría llevar a que el consumidor compre una cantidad más baja de ese artículo o que trabaje más horas para conseguir más ingresos y costear el precio más alto.