Cómo encontrar el vértice de una parábola en la ecuación

En matemáticas la parábola es la gráfica de una función cuadrática que se genera de la expresión F(x) = y = aX2 + bX + c. siempre que “a” sea distinto de cero.

Las funciones cuadráticas pertenecen a la familia conocida como las funciones polinómicas, que son expresiones de la forma f(x) = an * xn + an -1 * xn-1 +…+ a1 * x + a0.

Cuando “n” es igual a dos, se describe una función cuadrática, es decir, f(x) = ‌y‌ = = a1x 2 + a2x + a0. Esta ecuación de segundo grado‌,‌ se escribe con frecuencia así ‌“y‌ = ‌ax‌ 2 + ‌bx‌ + ‌c”‌, siempre que “a” sea distinto de cero.

La gráfica de la función cuadrática antes descrita es una parábola, una curva con eje de simetría en x= -b/2a.

La parábola es una de las llamadas “secciones cónicas” junto a la circunferencia, la elipse y la hipérbola. Se les llama secciones cónicas pues todas se generan a partir de la intersección de un “cono recto” con un plano cuyo grado de inclinación respecto al eje de revolución del cono, dictará el tipo de curva o “cónica” generada.

Encontramos parábolas en muchos campos aplicados de la ciencia por su forma cuadrática, es decir, de grado dos.

Se dice que el movimiento de los cuerpos que se mueven bajo influencia de la gravedad es parabólico, igual que la trayectoria ideal de un proyectil. Cuando lanzamos una pelota de voleibol o futbol en cierto ángulo y con suficiente fuerza marcará una trayectoria descrita por una sucesión de parábolas.

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El vértice de una parábola según varsitytutors.com es el punto exacto donde la parábola atraviesa o se cruza con su eje de simetría, marcando un mínimo o un máximo.

Toda parábola tiene un vértice, el cual es el máximo o valor más grande que toma la función como imagen a lo largo de la curva, esto sucede cuando a<0 y de forma contrapuesta, será el mínimo o valor más pequeño que toma la función como imagen a lo largo de la curva, cuando a>0.

Alguien nuevo en álgebra puede tener dificultades para encontrar el vértice de una parábola en la ecuación. En síntesis el vértice es el punto máximo o mínimo de una parábola definida por una ecuación cuadrática.

Para encontrar el vértice de una parábola‌,‌ se procede a hallar la forma canónica de la función cuadrática, la cual, viene dada por ‌y‌ = ‌a‌ (‌x‌ – ‌h‌)2 + ‌k,‌ donde el par ordenado (‌h‌ , ‌k‌) es el vértice de la parábola y viene dado por h=-b/2a y k=(4ac- ‌b‌2 )/4a .

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Consideraremos el siguiente ejemplo, para describir con detalle como hallar el vértice de una parábola y así conocer como se deduce la formula directa de (h,k).

Dada f(x) = x 2 + 5x + 6 el objetivo es encontrar el vértice. Para ello, llevaremos la expresión a la forma y = a (x – h)2 + k. Primero se agrupan los términos en los que aparecen la potencia de base “x”, así: f(x) = (x 2 + 5x) + 6. Ahora, se completa el cuadrado para la expresión dentro del paréntesis, tomando el coeficiente de “x” que es 5, el cual, se divide entre dos y se eleva al cuadrado, teniendo (5/2)2 = 25/4.

De tal manera, que la función transformada queda f(x) = (x 2 + 5x + 25/4) + 6 -25/4, que es equivalente a la función original.

Observe, que se suma y se resta el valor 25/4, este permite completar el cuadrado perfecto dentro del paréntesis. Entonces, la función cuadrática f(x) = x 2 + 5x + 6, puede re-escribirse en forma canónica como f(x) = (x + 5/2) 2 - ¼. Esta forma define a una parábola cuyo vértice es (h,k)=(-5/2,-1/4) con eje de simetría en x= -5/2.

Es importante mencionar en éste caso en particular, como a=1>0, el valor k=-1/4 será el mínimo o valor más pequeño que toma la función como imagen a lo largo de la curva. Siendo también este valor un indicador del rango de la función parabólica.

Cabe destacar que el vértice parábola, también puede calcularse sin necesidad de llevar la expresión general a la forma canónica, simplemente usando las formulas descritas anteriormente de h=-b/2a y k= k=(4ac- ‌b‌2 )/4a . Sólo basta, identificar los coeficientes: “a”, “b” y “c”; de la función cuadrática y sustituir.

El vértice de una parábola es un valor fundamental para el trazo o la ilustración de las gráficas de las funciones cuadráticas, que aunado a los cortes con los ejes o puntos de intersección, permiten generar un bosquejo aproximado de la curva. De lo contrario sin el estudio del vértice, se dibujaría una función lineal o de primer grado o los valores obtenidos carecerían de sentido.