Cómo encontrar expresiones equivalentes

En las escuelas secundarias y algunos niveles elementales de las matemáticas, se enseña un concepto “en apariencia fácil”: la equivalencia algebraica de expresiones matemáticas.

El álgebra es un área de las matemáticas que aborda la combinación de elementos abstractos, que pueden ser símbolos o letras, como una generalización de cantidades numéricas para la aplicación de múltiples propiedades aritméticas, es decir, de operaciones matemáticas básicas.

En otras palabras, así como la aritmética aborda las operaciones matemáticas elementales (la adición, sustracción, el producto y el cociente) con números, el álgebra elemental emplea expresiones abstractas como representación de esos números para generalizar. Estas expresiones se llaman incógnitas y permiten formular ecuaciones, realizar análisis, e incluso, probar leyes o axiomas de aplicación general.

El álgebra elemental permite el postulado de leyes con base en diferentes propiedades aplicadas a la aritmética, por lo que podemos considerarla una extensión de la aritmética. Algunas de esas propiedades son la conmutatividad, asociativa, la propiedad distributiva y el elemento neutro.

El álgebra asusta a muchos, tanto a adultos como a estudiantes. Sin embargo, tal como expone una publicación del Departamento de Matemática de la Universidad de Quebec, ese temor se infunda debido a que en el nivel escolar, más precisamente en preparatoria, no se explica de forma exhaustiva las distintas reglas y propiedades y muchas de ellas se dan por sentado.

Complementamos la definición ofrecida por Varsitytutors.com para afirmar que la equivalencia algebraica es el uso de las propiedades aritméticas de las operaciones básicas para probar que dos expresiones o ecuaciones tienen el mismo valor, independiente de la cantidad numérica que las variables o incógnitas asuman.

Tan simple como que (X + X) = 2X y (X × X) = X2 son expresiones equivalentes, puesto que ambos miembros de la igualdad de cada ecuación darán el mismo resultado, independiente del valor que asuma X.

Veremos algunas formas de cómo encontrar expresiones equivalentes a través de un par de ejemplos.

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Podemos explicar la equivalencia de expresiones equivalente a través del ejemplo del trinomio cuadrado perfecto: un polinomio de tres términos que se obtiene elevando al cuadrado un binomio como (a + b) o (a + 1)

En este caso demostramos que las expresiones (a+b)2_ y _a2 + 2ab + b__2 son expresiones equivalentes.

• Primero: (a+b)__2 = (a+b) × (a+b) por definición de exponente (exponente 2)
• Luego por propiedad distributiva se tiene que (a+b)×(a+b) = a__×a + a×b + b×a + b×b
• Damos por sentado que  a×a = a2 por definición de exponente al igual que b×b = b__2
• Por propiedad conmutativa del producto  a×b = b×a de modo que a×b + b×a = 2×a×b (son expresiones equivalentes)
• Así a×a + a×b + b×a + b×b = a2 + 2ab + b__2
• Entonces (a+b)2_  = _a2 + 2ab + b__2
• Así queda demostrado también que (a+1)2  = a__2 + 2a + 1  solo cambiamos “b” por “1”

Cualquier estudiante de preparatoria puede argumentar que (a+1)2_ y _a2 + 12_ son expresiones equivalentes, es decir que _(a+1)2 es equivalente a a2_ _+ 12 = a__2 + 1 lo cual, es evidentemente falso y se comprueba con solo reemplazar “a” por “1”

(1 +1)2_ _= 22 = 4 es distinto que 1__2 + 1 = 1+1 = 2

Veamos otros ejemplos para hallar expresiones equivalentes

• Empieza con una expresión algebraica cualquiera. Usemos, por ejemplo, 2X×(3Y + 2)
• Distribuye el múltiplo 2x por el resto de la ecuación. Esto quiere decir multiplicar “2X” por “3y” y “2X”  por 2 Multiplica 2X por 3Y y tendrás 6XY
• Multiplica 2X por 2 y tendrás 4X
• Completa la ecuación uniéndolo todo de nuevo. Esto significa tomar los dos nuevos números y mantener la función en el medio de la misma: 6XY + 4X
• Esta es tu expresión equivalente. Puedes escribir las dos expresiones para mostrar la igualdad: 2X(3Y + 2) = 6XY + 4X

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• Identifica los factores comunes en partes de la ecuación; separar la ecuación puede ser necesario para encontrar una expresión equivalente
• Si te dan la expresión 6XY + 4X, deberás trabajar en la dirección opuesta al caso anterior, obteniendo los números comunes. En este caso, los dos términos de la  son divisibles por 2
• De manera que 6XY + 4X es igual  2×(3XY + 2X) por factor común. Verás además que aún hay otro factor común en X
• Obtén los factores comunes adicionales, así 2×(3XY + 2X) = 2X(3y + 2). Esto te da una expresión equivalente
• De nuevo, llegamos a la conjetura que  6xy + 4x = 2x(3y + 2) son por tanto ecuaciones equivalentes
• Puedes trabajar con expresiones equivalentes mediante la distribución o factorización según el tipo de ecuación que te den antes. Si factorizas para conseguir una expresión, redistribuye para asegurarte de que has resulto bien el problema. Si usas la distribución, vuelve a factorizar para comprobar el trabajo.

Verifica tu trabajo. A veces los símbolos pueden estar mal, especialmente al usar expresiones algebraicas con argumentos negativos.

¡Éxitos en tu camino por el álgebra!